અંતરાલ $\left[ -\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4} \right]$ માં સમીકરણ $\begin{vmatrix} \cos x & \sin x & \sin x \\ \sin x & \cos x & \sin x \\ \sin x & \sin x & \cos x \end{vmatrix} = 0$ ના ભિન્ન વાસ્તવિક બીજની સંખ્યા કેટલી છે?

$\theta \in (0, \pi)$ માટે એવા $\theta$ ના મૂલ્યોની સંખ્યા શોધો જેના માટે સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ $x + 3y + 7z = 0$,$-x + 4y + 7z = 0$,અને $(\sin 3\theta)x + (\cos 2\theta)y + 2z = 0$ નો ઉકેલ અશૂન્ય (non-trivial) હોય.

જો $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix}$ હોય, તો $\det(A)$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $A(a, 0)$,$B(b, 2b+1)$,અને $C(0, b)$,જ્યાં $b \neq 0$ અને $|b| \neq 1$,એવા બિંદુઓ છે કે જેથી ત્રિકોણ $ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $1 \, \text{sq. unit}$ થાય. તો $a$ ની તમામ શક્ય કિંમતોનો સરવાળો શોધો:

જો $x^2+y^2+z^2 \neq 0, \quad x=cy+bz, \quad y=az+cx$ અને $z=bx+ay$ હોય, તો $a^2+b^2+c^2+2abc$ ની કિંમત શોધો.

જો $a, b, c$ ભિન્ન અને સંમેય સંખ્યાઓ હોય,તો નિશ્ચાયક $\left| \begin{array}{ccc} (a^2 + b^2 + c^2) & (ab + bc + ca) & (ab + bc + ca) \\ (ab + bc + ca) & (a^2 + b^2 + c^2) & (ab + bc + ca) \\ (ab + bc + ca) & (ab + bc + ca) & (a^2 + b^2 + c^2) \end{array} \right|$ નું મૂલ્ય હંમેશા શું હોય?